Mathematics

Band 2 von Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen beschäftigt sich mit der Lösung nichtlinearer Zweipunkt-Randwertprobleme mittels Schiessverfahren. Insbesondere werden auch numerische Techniken zur Berechnung und Darstellung der Lösungsmannigfaltigkeit parameterabhängiger Probleme in Form von Bifurkationsdiagrammen vorgestellt. Hierbei spielen erweiterte und transformierte Randwertprobleme für das Studium von Grenz- und Bifurkationspunkten eine zentrale Rolle. Die Darstellung des Stoffes erfolgt in leicht verständlicher und anschaulicher Form. Der Zweibänder ist für Einführungsvorlesungen sowie als Nachschlagewerk konzipiert und beide Bände decken den gesamten Bereich von den klassischen Techniken bis hin zu den modernen Algorithmen ab. Die Verfahren werden mathematisch exakt beschrieben und deren Umsetzung in eine Programmiersprache anhand von Beispielen in MATLAB illustriert.

• Lösung nichtlinearer RWPe mit modernen Schiessverfahren
• Mit einem neuen Kapitel über parameterabhängige RWPe
• Für Studenten der Mathematik, Physik und den Ingenieurwissenschaften
• Enthält eine Vielzahl von Beispielen
• Mit MATLAB-Programmen der wichtigsten Schiessverfahren (auch online erhältlich)
• Auch im Set mit Band 1: »Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme« erhältlich

Inhalt
Nichtlineare Zweipunkt-Randwertprobleme
Numerische Analyse von Einfach-Schießtechniken
Numerische Analyse von Mehrfach-Schießtechniken
Numerische Behandlung von parameterabhängigen Zweipunkt-Randwertproblemen
Numerische Lösung nichtlinearer algebraischer Gleichungssysteme

Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen spielen bei der mathematischen Modellierung naturwissenschaftlicher, technischer und ökonomischer Prozesse sowie bei innermathematischen Fragestellungen eine fundamentale Rolle. Dieses zweibändige Lehrbuch vermittelt sowohl für Anfangs- als auch für Randwertprobleme eine Einführung in die Theorie und Praxis moderner numerischer Verfahren, die insbesondere in den heute gängigen Software Paketen zum Einsatz kommen.

Im Mittelpunkt des ersten Bandes stehen integrative Techniken zur Lösung von Anfangswertproblemen und linearen Randwertproblemen, während sich der zweite Band mit numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Randwertprobleme beschäftigt. Die Darstellung des Stoffes erfolgt in leicht verständlicher und anschaulicher Form. Beispiele dienen als Motivation und Einführung in die Problemstellung. Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik sowie mathematisch orientierter Fachrichtungen an Universitäten und Fachhochschulen.

Es eignet sich auch als Nachschlagewerk für Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure.

• Leicht verständliche und anschauliche Einführung in die Thematik
• Enthält eine Vielzahl von Beispielen
• Mit MATLAB-Programmen der wichtigsten Schießverfahren
• Mit frei verfügbarem Zusatzmaterial online
• Auch im Set mit Band 2: „Nichtlineare Randwertprobleme" erhältlich

Inhalt
Anfangswertprobleme
Numerische Analyse von Einschrittverfahren
Numerische Analyse von linearen Mehrschrittverfahren
Absolute Stabilität und Steifheit
Allgemeine Lineare Verfahren und Fast-Runge-Kutta Verfahren
Zweipunkt-Randwertprobleme
Numerische Analyse von Einfach-Schießtechniken
Numerische Analyse von Mehrfach-Schießtechniken
Singuläre Anfangs- und Randwertprobleme
Grundlegende Begriffe und Resultate aus der Linearen Algebra
Einige Sätze aus der Theorie der Anfangswertprobleme
Interpolation und numerische Integration

This textbook provides a self-contained and elementary introduction to the modern theory of pseudodifferential operators and their applications to partial differential equations.

In the first chapters, the necessary material on Fourier transformation and distribution theory is presented. Subsequently the basic calculus of pseudodifferential operators on the n-dimensional Euclidean space is developed. In order to present the deep results on regularity questions for partial differential equations, an introduction to the theory of singular integral operators is given - which is of interest for its own. Moreover, to get a wide range of applications, one chapter is devoted to the modern theory of Besov and Bessel potential spaces. In order to demonstrate some fundamental approaches and the power of the theory, several applications to wellposedness and regularity question for elliptic and parabolic equations are presented throughout the book. The basic notation of functional analysis needed in the book is introduced and summarized in the appendix.

The text is comprehensible for students of mathematics and physics with a basic education in analysis.

This book may serve as a basis for students and teachers. The text should provide the reader with a quick overview of the basics for Optimal Control and the link with some important conceptes of applied mathematical, where an agent controls underlying dynamics to find the strategy optimizing some quantity. There are broad applications for optimal control across the natural and social sciences, and the finale to this text is an invitation to read current research on one such application. The balance of the text will prepare the reader to gain a solid understanding of the current research they read.

This is a clear, rigorous and self-contained introduction to PDEs for a semester-based course on the topic. For the sake of smooth exposition, the book keeps the amount of applications to a minimum, focusing instead on the theoretical essentials and problem solving. The result is an agile compendium of theorems and methods - the ideal companion for any student tackling PDEs for the first time.

Vladimir Tolstykh is a professor of mathematics at Istanbul Arel University. He works in group theory and model-theoretic algebra. Dr. Tolstykh received his Ph.D. in Mathematics from the Ural Institute of Mathematics and Mechanics (Ekaterinburg (Russia) in 1992 and his Doctor of Science degree in Mathematics from the Sobolev Institute of Mathematics (Novosibirsk, Russia) in 2007.

Many nonlinear systems around us can generate a very complex and counter-intuitive dynamics that contrasts with their simplicity, but their understanding requires concepts that are outside the basic training of most science students. This textbook, which is the fruit of graduate courses that the authors have taught at their respective universities, provides a richly illustrated introduction to nonlinear dynamical systems and chaos and a solid foundation for this fascinating subject. It will satisfy those who want discover this field, including at the undergraduate level, but also those who need a compact and consistent overview, gathering the concepts essential to nonlinear scientists.

The first and second chapters describe the essential concepts needed to describe nonlinear dynamical systems as well as their stability. The third chapter introduces the concept of bifurcation, where the qualitative dynamical behavior of a system changes. The fourth chapter deals with oscillations, from their birth to their destabilization, and how they respond to external driving. The fifth and sixth chapters discuss complex behaviors that only occur in state spaces of dimension three and higher: quasi-periodicity and chaos, from their general properties to quantitative methods of characterization. All chapters are supplemented by exercises ranging from direct applications of the notions introduced in the corresponding chapter to elaborate problems involving concepts from different chapters, as well as numerical explorations.

This introductory text combines models from physics and biology with rigorous reasoning in describing the theory of ordinary differential equations along with applications and computer simulations with Maple. Offering a concise course in the theory of ordinary differential equations, it also enables the reader to enter the field of computer simulations. Thus, it is a valuable read for students in mathematics as well as in physics and engineering. It is also addressed to all those interested in mathematical modeling with ordinary differential equations and systems.

Contents
Part I: Theory
Chapter 1 First-Order Differential Equations
Chapter 2 Linear Differential Systems
Chapter 3 Second-Order Differential Equations
Chapter 4 Nonlinear Differential Equations
Chapter 5 Stability of Solutions
Chapter 6 Differential Systems with Control Parameters

Part II: Exercises
Seminar 1 Classes of First-Order Differential Equations
Seminar 2 Mathematical Modeling with Differential Equations
Seminar 3 Linear Differential Systems
Seminar 4 Second-Order Differential Equations
Seminar 5 Gronwall’s Inequality
Seminar 6 Method of Successive Approximations
Seminar 7 Stability of Solutions

Part III: Maple Code
Lab 1 Introduction to Maple
Lab 2 Differential Equations with Maple
Lab 3 Linear Differential Systems
Lab 4 Second-Order Differential Equations
Lab 5 Nonlinear Differential Systems
Lab 6 Numerical Computation of Solutions
Lab 7 Writing Custom Maple Programs
Lab 8 Differential Systems with Control Parameters

Dieses Lehrbuch führt in das Gebiet der Differentialgleichungen und der mathematischen Modellbildung ein. Dabei werden etablierte und moderne Rechenmethoden besprochen und es wird erläutert, wie diese zur mathematischen Modellierung benutzt werden können. Lie-Gruppen und deren Einsatz zur Lösung von Differentialgleichungen spielen dabei eine tragende Rolle. Es werden gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen verschiedener Ordnung behandelt, aus denen individuell Beispiele ausgewählt werden können. In seinem modularen und einfach zu folgenden Aufbau ist dieses Buch ideal für Studenten und Wissenschaftler, die mit mathematischen Modellen umgehen müssen.

Inhalt
Ausgewählte Kapitel der Analysis
Mathematische Modelle
Gewöhnliche Differentialgleichungen, traditionelle Lösungsmethoden
Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen
Verallgemeinerte Funktionen oder Distributionen
Invarianzprinzip und Fundamentallösung

There are very few systematic books on the dynamics of entire functions. Unfortunately, reading these books is often difficult for non-specialists since their proofs are not clearly written, and readers struggle to understand the arguments fully. This book is a comprehensive introduction to the iteration theory of entire complex functions. It is intended to introduce the reader to the key topics in the field and to form a basis for further study. In general, the proofs are more detailed; therefore, the book will also help non-specialist mathematicians become acquainted with complex dynamics. In no sense is this manuscript a complete account of the subject. Nevertheless, the book may also be helpful to young researchers in this field before they tackle more specific works. The book deals with three possible aspects: theory, practice, and computer graphics. In Appendix C, we explained the necessary rudiments of MATLAB RGB images to create computer graphics of different sets considered in the book, such as the sets of Julia and Mandelbrot. In this Appendix, a gallery is also included where beautiful and spectacular images are shown. The author has obtained all these images using MATLAB, most of which are revealed here for the first time.

The first two parts of this book focus on developing standard analysis concepts in the extended complex plane. We cover differentiation and integration of functions of one complex variable. Famous Cauchy formulas are established and applied in the frame of residue theory. Taylor series is used to investigate analytic functions, and they are connected to harmonic functions. Laurent series theory is developed.

The third part of the book finds applications of the earlier chapter in conformal mappings and the Laplace transform. Special functions solving ordinary differential equations are studied extensively, along with their asymptotic behavior. A highlight of the book is the elliptic function of Weierstrass and Jacobi. Finally, we present Laplace’s method, which is applied to find large arguments asymptotic of some special functions.

The book is filled with examples, exercises, and problems of varying degrees of difficulty. This makes it useful to all students in mathematics, physics, and related fields.

Analysis and Probability on graphs is an introduction to random graphs, Markov chains on digraphs, entropy of Markov Chains, and discrete Lyapunov exponents and Hausdorff dimension, requiring only minimal background in probability, mathematical analysis, and graphs. This textbook includes constructive discussions about the motivation of basic concepts, and many worked-out problems in each chapter, making it ideal for classroom use or self-study.

The book is a comprehensive yet compressed entry-level introduction on single variable calculus, focusing on the concepts and applications of limits, continuity, derivative, defi nite integral, series, sequences and approximations. Chapters are arranged to outline the essence of each topic and to address learning diffi culties, making it suitable for students and lecturers in mathematics, physics and engineering.

Contents
Prerequisites for calculus
Limits and continuity
The derivative
Applications of the derivative
The definite integral
Techniques for integration and improper integrals
Applications of the definite integral
Infinite series, sequences, and approximations

Komplexe Zahlen sind ein wichtiges Darstellungsmittel für zentrale Problemstellungen der Analysis und der Geometrie. Sie erweisen sich als elegantes Mittel zum Lösen von Gleichungen in der Mathematik, aber auch zum Mathematisieren von Problemen aus Physik und Technik. Als Vektoren in der Ebene wie als Drehstreckung dienen sie ebenso der Veranschaulichung geometrischer Objekte.
Diese Buch führt anschaulich in die Arithmetik komplexer Zahlen ein und behandelt umfassend ihre Rolle sowohl beim Lösen von Gleichungen wie auch in der Geometrie der Ebene. Dabei werden ebenfalls Bezüge zur historischen Entwicklung zentraler mathematischer Resultate thematisiert. Übungsaufgaben mit Lösungen zu den einzelnen Kapiteln sowie ein Anhang zum Rechnen mit komplexen Zahlen und konformen Abbildungen in MAPLE komplettieren das Buch.
Diese dritte Auflage wurde um Abschnitte zur nichteuklidischen Geometrie und einer Vorstellung des Programms Cinderella zur Analyse und Visualisierung geometrischer Konstruktionen erweitert. Weiterhin sind in der neuen Auflage zahlreiche Farbabbildungen enthalten.

Inhalt:
Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung
Primzahlen im Komplexen
Lösungen algebraischer Gleichungen
Fundamentalsatz der Algebra
Riemannsche Kugel
Komplexe Funktionen
Gebrochen lineare Funktionen
Die Jukowski-Funktion und die Funktion w = z^2
Nichteuklidische Geometrie
Komplexe Zahlen und dynamische Geometrie
Komplexe Zahlen und Konforme Abbildungen mit MAPLE

Tensor calculus is a prerequisite for many tasks in physics and engineering. This book introduces the symbolic and the index notation side by side and offers easy access to techniques in the field by focusing on algorithms in index notation. It explains the required algebraic tools and contains numerous exercises with answers, making it suitable for self study for students and researchers in areas such as solid mechanics, fluid mechanics, and electrodynamics.

Contents
Algebraic Tools
Tensor Analysis in Symbolic Notation and in Cartesian Coordinates
Algebra of Second Order Tensors
Tensor Analysis in Curvilinear Coordinates
Representation of Tensor Functions
Appendices: Solutions to the Problems; Cylindrical Coordinates and Spherical Coordinates

Jedes System, das aus diskreten Zuständen oder Objekten und Beziehungen zwischen diesen besteht, kann als Graph modelliert werden.

Diese Darstellung ermöglicht den Einsatz graphentheoretischer Algorithmen. Das vorliegende Buch stellt die grundlegenden Algorithmen zur Lösung graphentheoretischer Problemstellungen anhand praktischer Beispiele aus der Informatik vor. Die Algorithmen sind in kompakter Form in einer programmiersprachennahen Notation dargestellt, die eine Übertragung in eine konkrete Implementierung leicht macht. Die praktische Relevanz der behandelten Algorithmen wird in vielen Anwendungen aus Gebieten wie Compilerbau, Künstlicher Intelligenz, Betriebssystemen, Computernetzwerken, Suchmaschinen, Analyse sozialer Netzwerke und Operations Research demonstriert. Elf Kapitel decken die wichtigsten Teilgebiete der Algorithmischen Graphentheorie ab. Die vorliegende vierte, erweiterte und überarbeitete Auflage des Buches zeichnet sich unter anderem durch ein neues umfangreiches Kapitel über Entwurfsmethoden der Algorithmischen Graphentheorie aus.

Das Buch enthält 280 Übungsaufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsgraden, für das Bachelor- und das Masterstudium. Die ausführlichen Lösungen können kostenlos bezogen werden.

This textbook offers a high-level introduction to multi-variable differential calculus. Differential forms are introduced incrementally in the narrative, eventually leading to a unified treatment of Green’s, Stokes’ and Gauss’ theorems. Furthermore, the presentation offers a natural route to differential geometry.

Contents:
Calculus of Vector Functions
Tangent Spaces and 1-forms
Line Integrals
Differential Calculus of Mappings
Applications of Differential Calculus
Double and Triple Integrals
Wedge Products and Exterior Derivatives
Integration of Forms
Stokes’ Theorem and Applications

The book starts with the assumption that vagueness is a fundamental property of this world. From a philosophical account of vagueness via the presentation of alternative mathematics of vagueness, the subsequent chapters explore how vagueness manifests itself in the various exact sciences: physics, chemistry, biology, medicine, computer science, and engineering.

Das Lehrbuch behandelt adaptive Algorithmen für die numerische Lösung von elliptischen und parabolischen Gleichungen, wobei der Schwerpunkt auf der algorithmischen Effizienz liegt und die notwendige Theorie so elementar wie möglich gehalten wird. Die zweite Ausgabe wurde korrigiert und um eine constraints-basierte Formulierung der Dirichlet-Randbedingungen und einen Abschnitt über spektrale verzögerte Korrekturmethoden erweitert.

The book illustrates the theoretical results of fractional derivatives via applications in signals and systems, covering continuous and discrete derivatives, and the corresponding linear systems. Both time and frequency analysis are presented. Some advanced topics are included like derivatives of stochastic processes. It is an essential reference for researchers in mathematics, physics, and engineering.

This graduate text covers a variety of mathematical and statistical tools for the analysis of big data coming from biology, medicine and economics. Neural networks, Markov chains, tools from statistical physics and wavelet analysis are used to develop efficient computational algorithms, which are then used for the processing of real-life data using Matlab.

Durch das Konzept der physikalischen Größe als Produkt von Zahlenwert und Einheit besitzen die Gleichungen der Physik eine Struktur, die sich mit den Methoden der Dimensionsanalyse zur Lösung physikalischer Probleme nutzen lässt. In ihrer klassischen Form stellt die Dimensionsanalyse beispielsweise Grundlagen für die Auftragung von Messergebnissen und für die Planung und die Auswertung von Modellversuchen bereit. Die erweiterte Form führt oft zu genaueren Ergebnissen, sie kann Ansätze zur Lösung bestimmter partieller Differentialgleichungen liefern und ermöglicht ein vertieftes Verständnis der Einheitensysteme der Physik und der kürzlich erfolgten Neufassung des Internationalen Einheitensystems (SI).

Grundlagen: Mengen, reelle Zahlen, elementare Funktionen, Grenzwerte; Lineare Algebra (wesentlich ergänzt): Vektorräume, lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Eigenwerte, analytische Geometrie, Skalarprodukt, Norm; komplexe Zahlen: GAUSSsche Zahlenebene, komplexe Funktionen, Anwendungen in der Technik; Differentialrechnung: Differenzierbarkeit, Ableitungsregeln, Anwendung auf Näherungen und Grenzwerte, NEWTON-Iteration; Integralrechnung: Unbestimmtes, bestimmtes, uneigentliches Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationsmethoden, praktische Anwendungen, numerische Integration; Ebene und räumliche Kurven: Parameterdarstellung von Kurven, Kurvengleichung in Polarkoordinaten; Reihen: Konvergenzkriterien, Potenzreihen, FOURIER-Reihen; Funktionen mehrerer Variablen: Partielle und vollständige Differenzierbarkeit, Doppelintegrale, Kurvenintegrale, Flächen im Raum, Umrisse; Differentialgleichungen: Elementare Verfahren für Dgln 1. und 2. Ordnung, lineare Dgln, Dgl-Systeme. Neu enthalten: Lineare Ausgleichsrechnung, Nabla-Kalkül, LAPLACE-Transformation, RUNGE-KUTTA-Verfahren

• In diesem Lehrbuch werden alle notwendigen Mathematikgrundlagen für Ingenieure und Naturwissenschaftler in einem Band dargestellt.
• Viele anschauliche Beispiele führen in die Thematik ein und vertiefen das Gelernte anhand von über 300 Grafiken.
• Mit mehr als 300 Übungsaufgaben mit Lösungen eignet sich das Buch hervorragend zum Selbststudium.

Die Erstauflage dieses Buches, 1999 unter dem Titel »Mathematik für Ingenieure« erschienen, entstand aus Vorlesungen, die die beiden Autoren in verschiedenen Fachbereichen der Hochschule München gehalten haben. In der Folge wurden mehrfach Überarbeitungen und Ergänzungen vorgenommen.

Das Werk bietet eine klare, didaktische Herangehensweise in die Themen der linearen Algebra. Beginnend mit Mengen, Gruppen, Ringen und Körpern stellt der Autor nachfolgend Vektorräume, Matrizen, Permutationen und Eigenwerte verständlich vor und führt dabei motivierend an das Lösen von Gleichungsaufgaben heran. Aufgrund der zahlreichen Beispiele und Übungsaufgaben ist es sowohl vorlesungsbegleitend als auch zum Selbststudium optimal geeignet.

Das letzte Kapitel„Gleichförmige Bewegungen in der Ebene" ist etwas Ungewöhnliches, Besonderes, das man übelichweise nicht in Lehrbüchern zur linearen Algebra findet. Es soll ein Beispiel dafür geben, was man mit verhältnismäßig einfacher Vektorrechnung schon alles anfangen kann.

Das Ziel dieses Lehrbuchs ist nicht nur in die lineare Algebra einzuführen, sondern auch einen fundierten Einstieg in die Mathematik und ihre Denkweise zu bieten.

The author's research on energy storage systems generally was confronted with five characteristics, i.e., complex, interacting, transporting, reacting, and heterogeneous systems. Hence, we refer to these kind of systems as Complex Heterogeneous Systems (CHeSs).

The work considers interacting systems that exchange energy, mass, information, etc. in various ways. The elementary building blocks of CHeSs are based on fundamental thermodynamic, chemical, material, physical, and mathematical principles such as variational and graph-theoretic concepts. It investigates ways of defining complexity, computing percolation thresholds, making smart decisions also by learning from data/past experiences (e.g., providing a systematic approach towards battery management systems), and identifying battery life (e.g., by blow-up analysis of highly nonlinear concentrated solutions).

Ultimately, the elaborated tools shall allow the reader to obtain a general understanding for simulating (also on quantum computers), controlling, and developing CHeSs as well as to pave the way for a general theory on CHeSs generalizing the view on complexity, measurement, estimation, and control.

This book deals with the general topic “Numerical solution of partial differential equations (PDEs)” with a focus on adaptivity of discretizations in space and time. By and large, introductory textbooks like “Numerical Analysis in Modern Scientific Computing” by Deuflhard and Hohmann should suffice as a prerequisite. The emphasis lies on elliptic and parabolic systems. Hyperbolic conservation laws are treated only on an elementary level excluding turbulence.

Numerical Analysis is clearly understood as part of Scientific Computing. The focus is on the efficiency of algorithms, i.e. speed, reliability, and robustness, which directly leads to the concept of adaptivity in algorithms. The theoretical derivation and analysis is kept as elementary as possible. Nevertheless required somewhat more sophisticated mathematical theory is summarized in comprehensive form in an appendix. Complex relations are explained by numerous figures and illustrating examples. Non-trivial problems from regenerative energy, nanotechnology, surgery, and physiology are inserted.

The text will appeal to graduate students and researchers on the job in mathematics, science, and technology. Conceptually, it has been written as a textbook including exercises and a software list, but at the same time it should be well-suited for self-study.

Abstract algebra is the study of algebraic structures like groups, rings and fields. This book provides an account of the theoretical foundations including applications to Galois Theory, Algebraic Geometry and Representation Theory. It implements the pedagogic approach to conveying algebra from the perspective of rings. The 3^rd edition provides a revised and extended versions of the chapters on Algebraic Cryptography and Geometric Group Theory.

There are numerous linear algebra textbooks available on the market. Yet, there are few that approach the notion of eigenvectors and eigenvalues across an operator's minimum polynomial.

In this book, we take that approach. This book provides a thorough introduction to the fundamental concepts of linear algebra. The material is divided into two sections: Part I covers fundamental concepts in linear algebra, whereas Part II covers the theory of determinants, the theory of eigenvalues and eigenvectors, and fundamental results on Euclidean vector spaces. We highlight that:

Consider hypothetical manufacturing models as a starting point for studying linear equations. There are two novel ideas in the book: the use of a production model to motivate the concept of matrix product and the use of an operator's minimal polynomial to describe the theory of eigenvalues and eigenvectors.

Several examples incorporate the use of SageMath., allowing the reader to focus on conceptual comprehension rather than formulas.

In order not to intimidate students by a too abstract approach, this textbook on linear algebra is written to be easy to digest by non-mathematicians. It introduces the concepts of vector spaces and mappings between them without dwelling on statements such as theorems and proofs too much. It is also designed to be self-contained, so no other material is required for an understanding of the topics covered.

As the basis for courses on space and atmospheric science, remote sensing, geographic information systems, meteorology, climate and satellite communications at UN-affiliated regional centers, various applications of the formal theory are discussed as well. These include differential equations, statistics, optimization and some engineering-motivated problems in physics.

Contents
Vectors
Matrices
Determinants
Eigenvalues and eigenvectors
Some applications of matrices and determinants
Matrix series and additional properties of matrices

The primary audience for this book is students and the young researchers interested in the core of the discipline. Commutative algebra is by and large a self-contained discipline, which makes it quite dry for the beginner with a basic training in elementary algebra and calculus.

A stable mathematical discipline such as this enshrines a vital number of topics to be learned at an early stage, more or less universally accepted and practiced. Naturally, authors tend to turn these topics into an increasingly short and elegant list of basic facts of the theory. So, the shorter the better. However, there is a subtle watershed between elegance and usefulness, especially if the target is the beginner. From my experience throughout years of teaching, elegance and terseness do not do it, except much later in the carrier. To become useful, the material ought to carry quite a bit of motivation through justification and usefulness pointers.

On the other hand, it is difficult to contemplate these teaching devices in the writing of a short book. I have divided the material in three parts. starting with more elementary sections, then carrying an intermezzo on more difficult themes to make up for a smooth crescendo with additional tools and, finally, the more advanced part, versing on a reasonable chunk of present-day steering of commutative algebra.

Historic notes at the end of each chapter provide insight into the original sources and background information on a particular subject or theorem.

Exercises are provided and propose problems that apply the theory to solve concrete questions (yes, with concrete polynomials, and so forth).

In the two-volume set ‘A Selection of Highlights’ we present basics of mathematics in an exciting and pedagogically sound way. This volume examines fundamental results in Algebra and Number Theory along with their proofs and their history. In the second edition, we include additional material on perfect and triangular numbers. We also added new sections on elementary Group Theory, p-adic numbers, and Galois Theory.

• A true collection of mathematical gems in Algebra and Number Theory, including the integers, the reals, and the complex numbers, along with beautiful results from Galois Theory and associated geometric applications.
• Valuable for lecturers, teachers and students of mathematics as well as for all who are mathematically interested.

In a self contained and exhaustive work the author covers Group Theory in its multifaceted aspects, treating its conceptual foundations in a proper logical order. First discrete and finite group theory, that includes the entire chemical-physical field of crystallography is developed self consistently, followed by the structural theory of Lie Algebras with a complete exposition of the roots and Dynkin diagrams lore. A primary on Fibre-Bundles, Connections and Gauge fields, Riemannian Geometry and the theory of Homogeneous Spaces G/H is also included and systematically developed.

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